Властивості бісектриси трикутника: формули та приклади

Бісектриса — одна з тих ліній у трикутнику, що миттєво наводить лад. Вона ділить кут навпіл, зв’язує сторони точним співвідношенням і відкриває простий шлях до довжин, площ і радіусів дотичних кіл. Варто один раз розібратися, і чимало задач з геометрії складаються, як конструктор: без зайвих ходів і втрат часу. Далі — живе пояснення, робочі формули, інтуїція, приклади й відповіді на типові запитання.

Бісектриса кута — це промінь, який виходить з вершини і ділить кут на дві рівні частини. У трикутнику три внутрішні бісектриси перетинаються в одній точці — центрі вписаного кола. Ця точка однаково віддалена від усіх трьох сторін, тож саме вона є центром кола, що торкається кожної сторони. Бісектриси важливі тим, що перетворюють кути на точні числові співвідношення між відрізками: так з’являються формули, які дозволяють знаходити довжини швидко і без складних обчислень.

“Бісектриса — це мова, якою кут розповідає про сторони.”

Основна властивість бісектриси

Головне твердження називають теоремою бісектриси: внутрішня бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до кута сторонам. Якщо в трикутнику ABC бісектриса з вершини A перетинає сторону BC у точці D, то виконується співвідношення BD/DC = AB/AC. Це справджується для гострокутних, прямокутних і тупокутних трикутників — тип трикутника ролі не грає, поки лінія ділить кут рівно навпіл.

• Співвідношення відрізків: BD/DC = AB/AC.
• Співвідношення площ: площі трикутників ABD і ACD відносяться як AB до AC.
• Точка перетину бісектрис: центр вписаного кола, рівновіддалений від усіх сторін.
• Зовнішня бісектриса: ділить продовження протилежної сторони у від’ємному відношенні тих самих прилеглих сторін.
• Довжина бісектриси: існує зручна формула через сторони, що дозволяє швидко обчислити її вимір.

Інтуїція і наочне пояснення

Уявімо кут при вершині A як два промені. Коли ми ділимо кут навпіл, похибка в один бік компенсується такою ж похибкою в інший. Саме тому “баланс” кута відбивається на стороні BC: точки ближче до B “тягнуться” до сторони AB, а ближче до C — до AC. Бісектриса знаходить таку точку D на BC, у якій ці впливи зрівноважені і виходить пропорційний поділ. У результаті відрізки від D до B і C зберігають співвідношення прилеглих сторін, бо кут поділено чесно — на дві рівні частини.

Доведення коротко

Найзручніший шлях — через теорему синусів у двох трикутниках ABD і ACD. Бісектриса гарантує рівність кутів BAD і CAD. За теоремою синусів BD/sin(∠BAD) = AB/sin(∠ABD) і DC/sin(∠CAD) = AC/sin(∠ACD). Оскільки ∠BAD = ∠CAD, відношення BD/DC дорівнює AB/AC за умови відповідної пари кутів біля основи. Інший шлях — через площі: висота з A до лінії BC спільна, тому відношення площ S(ABD)/S(ACD) дорівнює BD/DC. З іншого боку, це ж відношення площ дорівнює AB/AC, бо при рівних кутах біля вершини A лінійне розтягнення по стороні напряму залежить від прилеглої сторони. Отже, BD/DC = AB/AC.

Формули і корисні наслідки

Відрізки, на які бісектриса ділить сторону

Позначимо сторони так: a = BC, b = AC, c = AB. Якщо AD — бісектриса, то BD/DC = c/b, а сума BD + DC = a. Звідси зручно знайти кожен відрізок окремо: BD = a·c/(b + c), DC = a·b/(b + c). Формули симетричні: у чисельнику — добуток “цілої” сторони a на прилеглу сторону до протилежного кінця відрізка, у знаменнику — сума сторін, що прилягають до кута з бісектрисою.

Числовий приклад. Нехай AB = 7, AC = 5, BC = 9. Тоді BD/DC = 7/5, а сума BD + DC = 9. Отже BD = 9·7/(7 + 5) = 63/12 = 5.25, DC = 9·5/(7 + 5) = 45/12 = 3.75. Площі трикутників ABD і ACD відносяться так само: 7 до 5.

Довжина бісектриси

Довжина внутрішньої бісектриси з вершини A зручно обчислюється за формулою через сторони: l_a^2 = b·c · [1 − a^2/(b + c)^2]. Також корисна форма: l_a = 2bc·cos(A/2)/(b + c). Перша працює, коли відомі всі три сторони, друга — коли є дві сторони і кут при вершині A.

Приклад. Для трикутника з попередніх чисел (a = 9, b = 5, c = 7) маємо l_a^2 = 5·7 · [1 − 9^2/(5 + 7)^2] = 35 · [1 − 81/144] = 35 · 63/144 = 2205/144 ≈ 15.3125. Відповідно l_a ≈ 3.915. Цього досить для перевірки і для подальших кроків у складніших задачах.

Внутрішня і зовнішня бісектриси: коротке порівняння

У задачах часто з’являється не лише внутрішня, а й зовнішня бісектриса — промінь, що ділить зовнішній кут навпіл. Вона працює з продовженням протилежної сторони і дає схоже співвідношення з “мінусом” для напрямку. Нижче — стисле порівняння, яке допомагає не плутати ролі кожної лінії.

Приклади розв’язування

Приклад 1. Знайти відрізки на стороні через теорему бісектриси

Дано трикутник ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 11. Бісектриса з A перетинає BC у точці D. Знайти BD і DC. За теоремою бісектриси BD/DC = 8/6 = 4/3, а BD + DC = 11. Позначимо BD = 4x, DC = 3x. Тоді 7x = 11, отже x = 11/7. Маємо BD = 44/7 ≈ 6.286, DC = 33/7 ≈ 4.714. Перевірка просто читається: сума відрізків дорівнює 11, а відношення близьке до 4/3 — все збігається.

Приклад 2. Довжина бісектриси за сторонами

Нехай AB = 13, AC = 10, BC = 9. Потрібно знайти довжину бісектриси з A. Користуємося формулою l_a^2 = b·c · [1 − a^2/(b + c)^2] = 10·13 · [1 − 9^2/23^2] = 130 · [1 − 81/529] = 130 · (448/529) = 58240/529 ≈ 110.1. Отже, l_a ≈ √110.1 ≈ 10.495. Результат узгоджується з очікуванням: бісектриса коротша за суму прилеглих сторін і співмірна з ними за масштабом.

Приклад 3. Зовнішня бісектриса і продовження сторони

У трикутнику ABC з AB = 7, AC = 4 продовжили сторону BC за точку C до точки E так, що AE — зовнішня бісектриса кута A і перетинає продовження у точці E. Потрібно виразити BE/EC. Зовнішня бісектриса дає BE/EC = −AB/AC = −7/4. Знак “мінус” показує, що точки лежать по різні боки від C, а за модулем співвідношення збігається зі звичайною теоремою бісектриси.